Введение. *

1. Анализ рядов данных. *

2. Прогноз продаж витаминов на 1 год. На рынок в новом году выходят два новых препарата бренда Baby и Kids (2 формы). *

Одна западная фармацевтическая компания проводила конкурс на вакансию руководителя отдела аналитики. Мне было предложено тестовое задание по анализу и прогнозу продаж витаминов этой компании:

а. Проанализировать и дать комментарии относительно имеющегося ряда данных (файл zadanie.xls).
b. Подготовить прогноз (с использованием экономико-математических методов) на 12 месяцев с пояснительной запиской, в которой будут отражены Ваша логика действий, факторы, которые Вы учитывали при подготовке плана и др. Необходимо учесть, что на рынок в новом году выходят два новых препарата бренда Baby и Kids (2 формы), по которым также необходимо подготовить прогноз.

Данные были введены в файл reshenie.xls товарных групп и обработаны программой Excel-прогноз.

Вопрос к читателям: какие ошибки в данном отчете не позволили мне занять должность аналитика?

Ряды данных показаны на рис.1. Первый месяц соответствует июлю 2003 года. Последний – 42 месяц соответствует декабрю 2005 года. Таким образом, период наблюдений 2-х длинных рядов равен 3,5 лет.

Рис.1 Временные ряды продаж витаминов.

Из рис.1 видно, что ряды сильно колеблются (осциллируют) с периодом в 12 месяцев (1 год). Наибольший подъем наблюдается в феврале-марте и ноябре (нехватка фруктов-овощей, которая компенсируется витаминами), наибольший спад в июне-июле (избыток на рынке фруктов-овощей). Следовательно, имеется годовая сезонная составляющая. Товары tabs 30 (синяя линия) и min tabs 30 (желтая линия) начали продавать в мае 2004 года, поэтому до 22 месяца продажи отсутствуют(=0). История продаж этих 2-х товаров равна 20 месяцев (около 1,5 лет).

Линейный тренд вместе с данными продаж 2-х длинных рядов tabs 100 и min tabs 60 изображены на рис.2

Рис.2 Продажи tabs 100 и min tabs 60 (сплошные линии) вместе с линейными трендами (штриховые линии).

Из рис.2 видно, что линейные тренды имеют положительный наклон, т.е. в среднем продажи растут. Это верно также для рядов с короткой историей: tabs 30 и min tabs 30. Для ряда tabs 100 наклон линейного тренда мал (средний уровень продаж приблизительно постоянен) и амплитуда сезонных колебаний постоянна, поэтому для него подходит мультипликативная модель временного ряда с линейным трендом:

, где линейный тренд описывается уравнением:

t - время

Сезонность - описывает годовую периодичность,

Случайность - случайные непредсказуемые колебания

Из рис.2 также видно, что амплитуда максимумов сезонных колебаний для ряда min tabs 60 (красная сплошная линия) уменьшается с увеличением тренда. Это говорит о нелинейности тренда: первые 8 месяцев тренд растет, а потом падает. Это отчетливо видно на рис.3 с полиномиальным трендом 2-ого порядка (квадратичным полиномом):

Рис.3 Данные (сплошная линия) и квадратичный тренд (штриховая линия) для min tabs 60.

Для рядов с короткой историей tabs 30 и min tabs 30 данные не противоречат мультипликативной модели (1), хотя имеется тенденция снижения амплитуды сезонных максимумов с ростом тренда, аналогично ряду min tabs 60. Это подразумевает нелинейность тренда в модели (1): вначале подъем, потом спад. Модель таких трендов можно представить в виде квадратичного полинома:

Линейный тренд (2) является частным случаем нелинейного (3), когда константа const₃=0.

Вывод: временные ряды 4-х витаминов не противоречат мультипликативной модели (1) с квадратичным трендом (3).

Для расчета прогноза по модели (1) необходима специализированная программа, т.к. вручную проделать вычисления с более чем 120 числами трудно. Программа STATISTICA может давать прогнозы только для рядов с более чем 5-летней историей, поэтому она для нас не подходит. В нашем случае история данных равна 3,5 лет, что меньше 5 лет. Для модели (1) с линейным трендом (2) подходит программа прогноза (см. сайт http://excelprognoz.narod.ru). В нашем случае тренд нелинейный, но других программ у меня под рукой сейчас нет. Воспользуемся программой excelprognoz.

Вычислим сезонности рядов. У нас есть 4 временных ряда данных. Только в двух длинных рядах история больше 2 лет, поэтому для коротких рядов tabs. №30 и min, tabs. №30 индивидуальную сезонность вычислить нельзя. На рис.4 показана рассчитанная программой индивидуальная сезонность 2-х длинных рядов tabs 100, min tabs 60 и средняя (групповая) сезонность. Групповая сезонность помогает увеличить точность прогноза для товарных групп, т.е. похожих товаров. Все препараты - витамины, следовательно принадлежат одной товарной группе.

Рис.4 Индивидуальная и групповая сезонности для 2-х витаминов.

По оси абсцисс отложены 52 недели = 1 год. Программа работает с неделями, а не месяцами. Видны два приблизительно равных максимума: 12 неделя (март) и 47 неделя (ноябрь) и один минимум 29 неделя (июль), что согласуется с выводами п.1. Непонятен провал (красная стрелка) на 12 неделе (март) для tabs 100. Горизонтальные участки (плато) на рис.4 возникли из-за редкого задания данных 1 раз в месяц вместо 1 раза в неделю.

Вычислим среднюю ошибку годового прогноза для индивидуальной и групповых сезонностей в табл.1:

Табл.1 Средняя относительная ошибка прогноза % на 1 год вперед.

Из табл.1 видно, что расчет по групповой сезонности точнее. Также видно, что среднегодовая относительная ошибка прогноза на год вперед не может быть меньше 85%.

Три новых продукта, планируемых к выпуску в 2006 году, Baby, drops 60 ml, Kids, syrup 100 ml, Kids, syrup 150 ml имеют приблизительно одинаковую цену, по характеристикам похожи, поэтому моделировать их будем одинаково. Обозначим каждый из трех продуктов одним именем new.

Так как товар new принадлежит к товарной группе витаминов, то сезонность возьмем групповую (см.п.2.1, рис.4). В качестве тренда выберем прямую линию, которая имеет угловой наклон k, средний для 4-х рассчитанных ранее рядов. Тогда прогноз на i-ую неделю (i=1,2¼ ,52) равен, см. уравнение (1):

, где a - константа сдвига, подобранная так, чтобы

Прогноз(1)=среднее значение продаж по 4-м известным рядам в 1-ую неделю выхода на рынок:

a=(91+527+103+411)/(4*31/7) = 64

, где 31/7 - количество недель в одном месяце

Угловой наклон тренда равен среднему значению наклонов по 4-м рядам:

k=(0.72+0.64+2.67+1.13)/4=1.29

Сезонность(i) – групповая сезонность, рассчитанная в п.2.1.

Рассмотрим рынок потребителей витаминов. Старые препараты: витамины с минералами min, tabs. №30, min, tabs. №60 можно принимать детям после 4 лет. Витамины tabs. №30, tabs. №100 можно принимать детям старше 2 лет.

Новый препарат Baby, drops 60 ml предназначен детям до 1 года, следовательно он не должен повлиять на продажи старых, т.к. имеет потребителя из другой возрастной группы.

Новые витамины Kids, syrup 100 ml и Kids, syrup 150 ml предназначены для детей в возрасте от 1 до 6 лет, что пересекается с возрастной группой потребителей старых витаминов. Новые витамины Kids могут оттянуть часть потребителей старых витаминов на себя, но:

1. форма выпуска нового препарата (сироп) отлична от старой (таблетки), поэтому препарат может занять новую нишу на рынке,
2. я не умею вычислять влияние новых продуктов на продажи старых из той же товарной группы.

Вывод: влияние новых продуктов на продажи старых не учитывается в расчетах.

По модели (1) был сделан прогноз для выпускаемых и планируемых к выпуску new витаминов, результаты которого показаны в табл.2

Табл.2 Прогноз продаж (штук) витаминов на 2006 год.

Товар new представляет любой из 3-х новых товаров:

1. Baby, drops 60 ml
2. Kids, syrup 100 ml
3. Kids, syrup 150 ml

, т.е. прогнозы для всех новых товаров одинаковы.

Средняя относительная ошибка прогноза для уже выпускаемых витаминов получена в п.2.1 и равна 90%. Большая величина ошибки (порядка самого прогноза) обусловлена 3-мя причинами:

1. Большим периодом прогноза (12 месяцев)
2. Малой длиной временных рядов (чуть больше 3-х периодов)
3. Нелинейностью тренда

Для нового товара new относительная ошибка прогноза должна быть больше 90% из-за дополнительной неопределенности в тренде.