Моделирование ARIMA - временного ряда средствами MatLab 6.0

Содержание.

Введение. *

1. Генерация временного ряда авторегрессии первого порядка AR(1). *

2. Идентификация ARIMA модели. *

3. Интерполяция временного ряда плавной кривой. *

4. Прогноз временного ряда. *

5. Выводы. *

Мне поступило предложение от одной фирмы проверить, насколько программа математических вычислений MatLab адекватно моделирует ARIMA временные ряды. Подход ARIMA – это модное направление в прогнозировании. Он позволяет скромными средствами с помощью небольшого количества параметров описать бесконечное разнообразие временных рядов, наблюдающихся в реальной жизни. Сформулируем цели исследования:

1. разработать метод идентификации ARIMA модели временного ряда,
2. сделать прогноз на несколько шагов
3. интерполировать временной ряд гладкой функцией
4. освоить программирование в среде MatLab

Код в виде М-файла, который выполняет расчеты в программе MatLab 6.0, можно скачать здесь.

ARIMA моделирует стационарные временные ряды без сезонности и тренда. В качестве тестового временного ряда выберем ряд авторегрессии 1-ого порядка R=1, M=0, который определяется формулой:

(1)

, где l =0 - константа скользящего среднего M

Y_t - значение временного ряда в момент t

t - время

d =1 - константа сдвига

j =0.8 - константа авторегрессии R

e - случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону.

100 временных точек ряда показаны на рис.1.

Рис.1 Исходный временной ряд авторегрессии 1-ого порядка d =1, j =0.8.

Долгосрочное среднее значение ряда равно =d /(1- j )=5. Оклонение от среднего значения вызвано случайной компонентой e и зависимостью Y=Y(t). , поэтому стандартное отклонение ряда s _Y>s e =1. Из рис.1 видно, что ряд обладает временной инерцией: некоторое время он превышает среднее значение, потом наоборот и т.д. Это обусловлено авторегрессией R, которая связывает соседние члены ряда линейной зависимостью (1).

Определим порядок и вид ARIMA модели. Для начала сравним простую модель нулевого R=M=0 порядка и полную модель первого порядка R=M=1.

В табл.1 даны коэффициенты и их ошибки простой модели.

Табл.1 Коэффициенты простой R=M=0 модели.

Коэффициент C равен d в (1). Коэффициент К равен дисперсии случайной величины e .

В табл.2 даны коэффициенты и их ошибки полной модели.

Коэффициент AR(1) равен j в (1). Коэффициент MA(1) равен l .

Из таблиц 1, 2 видно, что ошибки коэффициентов обеих моделей, кроме MA(1), меньше самих величин. Это говорит об адекватности обеих моделей. Далее проверим ряд остатков на зависимость. Для этого построим графики автокорреляционных функций остатков, рис.2.

Рис.2 Графики автокорреляционных функций остатков простой модели R=M=0 (вверху) и модели авторегрессии и скользящего среднего первого порядка R=M=1 (внизу).

Из рис.2 видно, что 1, 2, 13, 14-ый коэффициенты автокорреляции простой модели R=M=0 выходят за границы доверительного интервала (синяя горизонтальная линия), тогда как в полной модели R=M=1 почти все коэффициенты, кроме 15-ого, лежат в доверительном интервале.

Вывод: полная модель первого порядка R=M=1 лучше отражает свойства исходного ряда по сравнению с моделью нулевого порядка.

В п.2.1 показано, что полная модель авторегрессии и скользящего среднего 1-го порядка лучше описывает ряд, чем модель нулевого порядка. Существуют три модели первого порядка:

1. скользящего среднего R=0, M=1
2. авторегрессии R=1, M=0
3. полная модель: авторегрессии и скользящего среднего R=1, M=1

В п.2.1 была проанализирована только 3-я полная модель R=1, M=1. Нельзя ли ее упростить до R=0, M=1 или R=1, M=0 моделей?

Из табл.2 следует, что ошибка коэффициента скользящего среднего MA(1) в 10 раз больше самого коэффициента MA(1). В табл.3 даны коэффициенты и их ошибки модели скользящего среднего R=0 M=1:

Из табл.3 видно, что ошибка в коэффициентах C и MA(1) много больше самих величин.

Вывод: модель скользящего среднего R=0, M=1 не подходит для описания ряда.

В табл.4 даны коэффициенты и их ошибки модели авторегрессии R=1 M=0:

Из табл.4 следует, что ошибки всех коэффициентов меньше величин самих коэффициентов.

Вывод: модель авторегрессии 1-ого порядка подходит для описания ряда.

Какую модель выбрать: полную R=M=1 или укороченную R=1 M=0 ? В полной модели ошибка коэффициента скользящего среднего MA(1) очень велика, см.табл.2. Вопрос: нельзя ли положить коэффициент MA(1)=0 ? Проверим нулевую гипотезу MA(1)=0. Для этого вычислим LRT статистику на уровне значимости 0,05. Результаты теста показаны в табл.5

Табл.5 LRT статистика.

Из табл.5 видно, что уровень значимости нулевой гипотезы pValue>0.05.

Вывод 1: две модели - полная R=M=1 и укороченная R=1 M=0 неразличимы, поэтому выбираем более простую (по сравнению с полной) модель авторегрессии первого порядка R=1 M=0.

Вывод 2: Программа MatLab успешно идентифицировала первоначальный тип ARIMA модели R=1 M=0 и правильно оценила коэффициенты модели, см.п.1 и табл.4:

ошибка в сдвиге d равна=|1.5881- 1|» 0,6

ошибка в регрессии j равна=|0.6989- 0,8|» 0.1

ошибка в дисперсии s ² равна=|0.73735- 1|» 0.3

Сравнение вычисленных программой и фактических ЗНАЧЕНИЙ коэффициентов дано в табл.6:

Табл.6 Коэффициенты в модели авторегрессии.

Из таблицы 6 следует, что наибольшая погрешность для всех коэффициентов не превышает 60%.

Сравнение вычисленных программой и фактических ОШИБОК коэффициентов из табл.6 дано в табл.7:

Табл.7 Абсолютные ошибки коэффициентов модели авторегрессии.

Из таблицы 7 следует, что фактические и прогнозируемые ошибки совпадают по порядку величины, кроме дисперсии s ², для которой фактическая ошибка больше прогнозируемой в 3 раза!

Процесс авторегрессии первого порядка стационарен, т.е. с течением времени остается вблизи среднего значения ср.знач = C/[1- AR(1)] = 1.5881/(1- 0.6989) » 5.3

Вывод: наилучшей гладкой кривой, приближающей временной ряд (1), является горизонтальная прямая, определяемая формулой: y(t) = ср.знач = 5.3

Временной ряд (синяя линия) и его прогноз (красная линия) на 10 шагов, вычисленный MatLab, показан на рис.3

Рис.3 Исходный временной ряд и его прогноз на 10 шагов.

Из рис.3 видно, что с течением времени ряд прогнозов (красная линия) асимптотически приближается к долгосрочному среднему значению, вычисленному в п.3. Ошибку прогноза можно грубо оценить из рис.3 по максимальному размаху колебаний. Среднеквадратичная ошибка прогноза равна s » (8–2)/2=3.

Вывод: ряд с течением времени будет колебаться вокруг среднего значения ср.знач=5,3 с амплитудой колебаний s =3.

Программа MatLab 6.0 не способна автоматически идентифицировать тип и порядок ARIMA-модели. Коэффициенты модели оцениваются правильно, но ошибка в оценке дисперсии случайной компоненты занижена в 3 раза.